乘除巧算
前面一讲主要介绍加减运算中的巧算、速算方法,本讲则会给大家介绍一些乘除运算中的技巧。
大家只要掌握了这两讲的内容,四则运算方面的难题基本可以轻松搞定。
首先,乘除法运算技巧是建立在乘除法运算定律及相关性质的基础之上的,我们需要牢记并熟练运用以下定律和运算技巧:
乘法交换律:a×b=b×a
乘法结合律:a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律:(a+b)×c=a×c+b×c，c×(a+b)=c×a+c×b
除法的性质:a÷b÷c=a÷(b×c)=a÷c÷b
商不变性质:a÷b=(a×c)÷(b×c)=(a÷c)÷(b÷c)(c≠0)
除法分配的性质:(a±b)÷c=a÷c±b÷c
带符号“搬家”:a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a
加括号、去括号:a×b÷c=a×(b÷c)，a÷b÷c=a÷(b×c)
a÷(b×c)=a÷b÷c，a÷(b÷c)=a÷b×C
其次,“凑整”的方法不仅适用于加减巧算,同样适用于乘除运算。
特别是在乘法运算中,如果有相乘得数是整十、整百、整千的因数,可以将它们先相乘,方便计算;如果算式中没有可直接凑整的因数,但有25,125这样的特殊因数,可以将其他因数拆分成4乘几、8乘几,通过25×4=100,125×8=1000凑整。
再次,如果算式中有接近整十、整百、整千的因数,比如98,202,则可以将它们写作100-2,200+2,再利用运算定律速算。
最后,乘法中还有些特殊的情况,比如首同尾合十,尾同首合十,一个数与11,5,15,25,125,9,99等数相乘,会有特殊的简算方法,后面的例题中会具体介绍,在此不赘述。
大家只要将上述运算技巧熟记于心,一定会提高计算效率。
【例1】用简便方法计算。
(1)25×57×4，(2)125×5×20×8
(3)(30+4)×25，(4)61×13+87×61
【思路导航】(1)25和4相乘可以凑整,运用乘法交换律和鲒合律,先算25×4=100,再用100乘57,可快速算出结果是5700。
(2)该连乘算式中,125与8相乘可凑整,5与20相乘可凑整,运用乘法交换律和结合律,先分别计算125×8与5×20,再让两乘积相乘,便可得到最后结果。
(3)观察发现,括号内数字4与括号外数字25相乘可凑整、30与25相乘也可速算,所以运用乘法分配律,让两数之和与一个数相乘变成两数分别与该数相乘,再让两乘积相加。
30×25=750,4×25=100,750+100=850,最终计算结果为850。
(4)运用乘法分配律逆运算,提取算式中的公因数,将公因数分别与两数相乘再将乘积相加,变为公因数乘两数之和。
而两数13与87相加正好凑整为100,公因数61×100=6100,速算出结果。
解:(1)25×57×4
=(25×4)×57
=100×57
(2)125×5×20×8
=(125×8)×(5×20)
=1000×100
(3)(30+4)×25
=30×25+4×25
=750+100
(4)61×13+87×61
=61×(13+87)
=61×100
【例2】速算下列各题。
(1)103×18，(2)15×98
(3)75×16，(4)37×25
【思路导航】(1)103接近整百数,可将其分解成100+3,然后用乘法分配律分别计算100×18和3×18,再将两个乘积相加即可。
(2)98接近整百数,可将其当成100-2,然后用乘法分配律分别计算15×100和15×2,再将两个乘积相减,可速算出结果。
(3)算式中两因数无法直接凑整,也都不接近整百数,但我们可以用分解因式法,将75分解成25×3,将16分解成4×4,让两数相乘变为四数相乘,再运用乘法交换律和结合律,凑整速算。
(4)因为算式中有因数25,所以我们要想办法把37拆分成含有4的式子,利用25与4相乘可凑整的技巧速算。
37=4×9+1,所以原式就变成了(4×9+1)×25,再利用乘法分配律,便可得出结果。
解:(1)103×18
=(100+3)×18
=100×18+3×18
=1800+54
(2)15×98
=15×(100-2)
=15×100-15×2
(3)75×16
=(25×3)×(4×4)
=(25×4)×(3×4)
=100×12
(4)37×25
=(4×9+1)×25
=4×9×25+1×25
=900+25
【例3】速算:一个数与5,25,125,15相乘。
(1)17×5，(2)17×25
(3)17×125，(4)18×15
【思路导航】(1)根据前面学习的速算方法,我们可以用分解因数法和乘法分配律计算本题。
因为5与2相乘等于10,我们就将17分解成2×8+1,原式变为(2×8+1)×5,再计算得：2×8×5+1×5=10×8+5=80+5=85。
从计算过程中可以发现这样一个规律:一个数与5相乘,这个数中有几个2,结果中就有几个10;若余1,则再加5。
17中有8个2,结果中就有8个10;17÷2,会余1,则需要再加5,所以结果是:80+5=85。
(2)因为25×4=100,所以将17分解成4×4+1,原式变为(4×4+1)×25=4×4×25+1×25=100×4+25=400+25=425。
得出规律:一个数与25相乘,这个数中有几个4,结果中就有几个100;若余1,则加25;若余2,则加50;若余3,则加75。
(3)因为125×8=1000,所以将17分解成8×2+1,原式变为(8×2+1)×125=8×2×125+1×125=1000×2+125=2000+125=2125。
得出规律:一个数与125相乘,这个数中有几个8,结果中就有几个1000;若余1,则加125;若余2,则加250;若余3,则加125×3……以此类推。
(4)因为15=10+5,所以18×15=18×(10+5)=18×10+18×5=18×10+18×10÷2=18×10+18÷2×10=(18+18÷2)×10=(18+9)×10=270。
省略中间步骤,可发现18×15=(18+9)×10,即一个数乘15,等于这个数加上它的一半再乘10,即“加半添0”。
解:(1)17×5
=(2×8+1)×5
=10×8+5
=85
(2)17×25
=(4×4+1)×25
=100×4+25
(3)17×125
=(8×2+1)×125
=1000×2+125
(4)18×15
=(18+9)×10
=27×10
【例4】速算:一个数与11相乘。
(1)36×11，(2)329×11
【思路导航】(1)一个两位数或多位数乘11的速算方法是“两头一拉,中间相加”,即先将这个数的首位和末位数字,分别放在积的首位和末位上;然后从这个数的个位起,将个位与十位上的数字相加,和放在积的十位上,将十位与百位上的数字相加,和放在积的百位上……从后往前,依次两两相加,放在对应的位数上,如满10,则往前进1;最后,将所有数字合在一起,便是最后的积。
按照这个方法,36×11,将3放在积的首位,将6放在积的末位,个位数6与十位数3相加得9,将9放在积的十位上,得到最后的积为396。
(2)329与11相乘,用“两头一拉,中间相加”的方法速算:将3放到积的首位,9放到积的末位;个位上的9与十位上的2相加得11,把1写在积的十位上,同时向积的百位进1;十位上的2与百位上的3相加得5,把5放在积的百位上,由于百位已经有1,此时的百位数变为5+1=6。综上,329×11=3619。
解:(1)36×11=396
(2)329×11=3619
【例5】速算:一个数与9,9相乘。
(1)78×9，(2)178×9
(3)78×99，(4)178×99
【思路导航】(1)由于9接近整数10,我们可以将它写作10-1,计算78×(10-1)。
其计算过程为:78×(10-1)=78×10-78×1=780-78=702。观察计算过程,可得出结论:一个数乘9,等于这个数后面添0,再减去这个数。
(2)该题可套用题目(1)中总结的方法进行速算:178乘9,先在178后添0,即1780,再用1780-178,得1602。
(3)由于99接近整数100,我们可以将它写作100-1,计算78×(100-1)。
其计算过程为:78×(100-1)=78×100-78×1=7800-78=7722。
观察计算过程,可得出结论:一个数乘99,等于这个数后面添00,再减去这个数。
(4)该题可套用题日(3)中总结的方法进行速算:178乘99,先在178后添00,即17800,再用17800-178,得17622。
解:(1)78×9
(2)178×9
(3)78×99
(4)178×99
【例6】计算下面各题。
(1)36×34，(2)79×71
(3)48×68，(4)23×83
【思路导航】(1)观察题目中的两个因数,它们十位上的数字相同,个位上的数字相加是10,我们管这类乘法叫作“首同尾合十”乘法。
这类题目的速算方法为:“首×(首+1)”在前,“尾×尾”在后,不足两位需补位,两数相连为乘积。也就是说,计算36×34时,两数的首位数相同,都是3,3×(3+1)=12,所以12是积的前两位;两数的尾数分别是6和4,6×4=24,所以24是积的后两位。将12与24连在一起写就是最后的结果,即1224。
(2)79×71为“首同尾合十”乘法,我们可以用上题中讲到的速算方法进行运算。
首×(首+1)=7×(7+1)=56,56放在积的前面;尾×尾=9×1=9,由于9不是两位数,需要将其补位成09,放在积的后面。
56与09连在一起为5609,即79×71=5609。
(3)观察题目中的两个因数,它们个位上的数字相同,十位上的数字相加是10,我们管这类乘法叫作“尾同首合十”乘法。
这类题目的速算方法为:“首×首+尾”在前,“尾×尾”在后,不足两位需补位,两数相连为乘积。
那么,计算48×68时,两数的首位分别是4和6,尾数是8,4×6+8=32,所以32是积的前两位;两数的尾数均为8,8×8=64,所以64为积的后两位。
将32与64连在一起就是最后的乘积,即3264。
(4)23×83属于“尾同首合十”乘法,我们可以用题(3)中讲到的速算方法进行运算。
首×首+尾=2×8+3=19,19放在积的前面;尾×尾=3×3=9,由于9不是两位数,需要将其补位成09,放在积的后面。
19与09连在一起为1909,即23×83=1909。
解:(1)36×34=1224
---------------▲6×4=24
-------------▲3×(3+1)=12
(2)79×71=5609
------------▲9×1=09
----------▲7×(7+1)=56
(3)48×68=3264
------------▲8×8=64
----------▲4×6+8=32
(4)23×83=1909
------------▲3×3=09
----------▲2×8+3=19
【例7】计算下列各题。
(1)140÷5，(2)300÷25，(3)2000÷125
【思路导航】(1)根据商不变性质,可以将被除数和除数同时乘2,140÷5就变成(140×2)÷(5×2)=280÷10=28。
(2)因为25×4=100,根据商不变性质,将被除数和除数同时乘4,让原式变成(300×4)÷(25×4),再计算便可。
(3)本题与前面两题的速算方法一样,先将被除数和除数同时乘8,让原式变为(2000×8)÷(125×8),再进行计算。
解:(1)140÷5
=(140×2)÷(5×2)
=280÷10
=28
(2)300÷25
=(300×4)÷(25×4)
=1200÷100
=12
(3)2000÷125
=(2000×8)÷(125×8)
=16000÷1000
=16
【例8】计算下列各算式。
(1)(56+49)÷7，(2)21÷5-6÷5
(3)560÷(28÷25)，(4)6363÷7÷9
【思路导航】(1)题中56与7、49与7皆可整除,我们先运用除法的性质,将两数之和除以一个数变为两数分别与该数相除,再把两个商相加,结果不变。
原式(56+49)÷7可变为56÷7+49÷7,再速算出结果。
(2)在除法运算中,当两个数分别除以同一个数后再相减时,可以将两个数先相减,再用差除以这个数。
根据除法的这个性质,将21÷5-6÷5变为(21-6)÷5,再计算会更加快速而准确。
(3)观察发现,题中560与28是倍数关系,所以我们可以通过去括号的方法进行速算。
由于括号前是除号,括号去掉后,原括号内的运算符号会发生改变,即560÷(28÷25)=560÷28×25。
先计算560÷28=20,再用20乘25,便可得到结果500。
(4)根据除法的性质,一个数连续除以两个数等于被除数除以两个除数的乘积。
所以,6363÷7÷9=6363÷(7×9),而7×9=63,算式变成6363÷63,得101。
解:(1)(56+49)÷7
=56÷7+49÷7
=8+7
=15
(2)21÷5-6÷5
=(21-6)÷5
=15÷5
=3
(3)560÷(28÷25)
=560÷28×25
=20×25
(4)6363÷7÷9
=6363÷(7×9)
=6363÷63
【例9】用简便方法计算。
(1)39×8÷13，(2)216÷24
(3)48×88÷(24×11)，(4)(21×9×15×6)÷(3×5×6)
【思路导航】(1)在乘除混合运算中,数字可以带着前面的符号“搬家”。
该算式中39与13是倍数关系,我们可以利用该性质,通过移动数字的位置,改变运算顺序,先计算39÷13=3,再计3×8=24,得到结果。
(2)观察算式中的两个数字,可发现:216其实是240减去24,而240和24与除数24都存在倍数关系,这是巧算本题的关键。
先将216转换成240-24,再运用除法的性质,将两数之差除以一个数变为两数分别除以该数,商再相减,即先算240÷24=10和24÷24=1,再算10-1=9,可快速得出结果。
(3)先根据去括号原则去掉本题算式中的括号,让原式变为48×88÷24÷11,再运用带括号“搬家”的性质,改变运算顺序,分别计算48÷24=2和88÷11=8,最后将两个商相乘便可得到最终结果:2×8=16。
(4)本题是较为复杂的乘除混合运算,算式中数字较多且带有两个括号,但观察发现第二个括号内的3与5相乘可得15,如此第二个括号内就变为15×6,而第一个括号内正好也有15×6,两个括号内的15×6可直接抵消,原式变为21×9。
再用前面介绍的一个数乘9的简便运算方法,可得:210-21=189。
解:(1)39×8÷13
=39÷13×8
=3×8
=24
(2)216÷24
=（240-24）÷24
=240÷24-24÷24
=10-1
=9
(3)48×88÷(24×11)
=48×88÷24÷11
=（48÷24）×（88÷11）
=2×8
=16
(21×9×15×6)÷(3×5×6)
=(21×9×15×6)÷(15×6)
=21×9
