2003年上海高考数学压轴题, 函数综合题, 不少学生题都没读懂

大家好！本文和大家分享一下这道2003年上海高考数学压轴题。这是一道新定义问题的题目，综合考查了函数的基本性质、函数图像、函数与方程、分类讨论思想以及阅读理解能力等。这道题的难度还是很大的，不少同学甚至连题都没读懂。下面我们一起来看一下这道题。

先看第一小问：判断f(x)=x是否属于M？

要判断一个函数是否属于集合M，关键是验证是否存在非零常数T，使得f(x+T)=Tf(x)对任意实数都成立。当f(x)=x时，f(x+T)=x+T，而Tf(x)=Tx，如果f(x+T)=Tf(x)，即x+T=Tx，显然不能在x为任意实数时成立，也就是说f(x)=x不属于集合M。

再看第二小问：证明f(x)=a^x属于M。

两个函数图像有公共点，也就是联立两个函数解析式得到的方程组有实数解。所以联立两个函数解析式，得到一个方程组，消去y得到方程a^x=x，那么该方程有实数解。显然，x=0不是该方程的解，所以该方程一定有非零的实数根，即存在非零实数T，使得a^T=T。所以对于f(x)=a^x就有，f(x+T)=a^(x+T)=a^x·a^T=Ta^x=Tf(x)，所以f(x)=a^x属于集合M。

最后看第三小问：求k的取值范围。

由题意知，f(x+T)=T(fx)，即sin(kx+kT)=Tsinkx。

显然，当k=0时，上面的关系式成立，此时f(x)=0属于集合M。

当k≠0时，由于-1≤sin(kx+kT)≤1，且-1≤sinkx≤1，所以要使sin(kx+kT)=Tsinkx恒成立，那么T就只能等于1或者-1。

当T=1时，有sin(kx+k)=sinkx，所以k=2nπ，k为整数。

当T=-1时，有sin(kx-k)=-sinkx，变换后得到sin(kx-k+π)=sinkx，所以-k+π=2nπ，n为整数，即k=-(2n-1)π，n为整数。

2n为偶数，2n-1为奇数，所以综上k=nπ，n为整数。

做这道题的关键就是要读懂题意，也就是要读懂集合M的定义。只有读懂了定义，解题过程中才能运用定义来解题，而读懂定义后，这道题也就不是那么难了，至少第一二小问难度并不算大，但是考场上很多学生却没能读懂题意，从而导致一分未得。