我们在中学都学过二次方程的解法。二次方程是只涉及一个变量的二阶多项式方程。在这篇文章中，我将展示如何推导三次方程和四次方程的解。精确的解（或多项式的根）可以通过代数或三角学的方法找到（本文将仅限于代数方法）。
三次方程
从古巴比伦人、希腊人、中国人、印度人和埃及人开始，三次方程已经被研究了几个世纪。最古老的三次方程是著名几何问题的代数版本，即所谓的德里安问题（ Delian problem）（相当于求解方程x³=2）。
图1：列奥纳多·达·芬奇尝试解决德里安问题，但是失败了
一些著名的数学家解决了三次方程的特殊情况，但直到16世纪才找到通解。这个解决方法首先由意大利博物学家杰罗拉莫·卡达诺（Gerolamo Cardano）在他重要的代数书《Ars Magna》中发表。
图2
然而，卡达诺并不是最初的发现者。第一个找到三次方程解的是意大利文艺复兴时期的数学家西皮安·德尔·费罗（Scipione del Ferro）。德尔·费罗把他的公式传给了他的学生、数学家安东尼奥·费奥雷。
图3：从左到右分别是，西皮安·德尔·费罗，尼科洛·塔尔塔利亚和杰罗拉莫·卡达诺。
意大利数学家和工程师尼科洛·塔尔塔利亚也独立地发现了三次方程的通解。后来，他被卡达诺说服，在卡达诺发誓永远不会出版的条件下，公开了他的方法。
然而，卡达诺注意到塔尔塔利亚的解有时涉及我们现在所称的复数，他并没有真正认识到结果的全部含义。意大利数学家拉斐尔·邦贝利（Rafael Bombelli）后来详细研究了这个问题。因此，邦贝利被许多人认为是复数的发现者。
四次方程
数学家洛多维科·德·法拉利（Ludovico Ferrari）在1540年解出了四次方程。然而，正如我们将要看到的，四次方程的解需要三次方程的解。因此，它后来才在卡达诺的《 Ars Magna》中发表。
图4：数学家洛多维科·德·法拉利
现在我们将展示如何找到四次方程的通解。我们从三次方程开始，因为要解四次方程需要用到三次方程的结果。
求解三次方程
我们的目的是演示如何求解以下三次方程：
式1
这个方程式叫做卡达诺公式。尽管它们比一般的三次方程（有二次项）要简单，但任何三次方程都可以通过变量代换简化为卡达诺公式。
图5：三次多项式的例子
式1的左边是一个多项式函数p(z)的例子。式1是对应于多项式函数p(z)的多项式方程。方程的零点称为根。
为求式1中的z，我们首先选择两个辅助变量u和v，使u + v = z，然后将这个表达式代入式1：
式2：将u + v = z代入式1的结果。
现在，u和v可以有任何值，只要它们的和是z，对于u和v最好的选择应该是满足：
式3：最好的u和v的选择。
因为有了这个选择，式2中的中间项就消失了。我们得到了一个方程组：
式4：将uv=-p/3代入式2，我们得到了这个方程组
现在定义：
式5：z和w的定义。
方程组变成：
式6：利用式5得到式4中的方程组。
式6表示二次方程的解。变量z和w就等于：
式7：式6解对应的二次方程的解。
使用u + v = z，我们得到了我们想要的解：
式8：式1的解。
现在让我们看看如何解四次方程。
四次方程的求解
这里将运用的策略是通过三次方程的解来获得四次方程的解。这种方法是由历史上最伟大的数学家之一莱昂哈德·欧拉发现的。没有x^3项的四次方程称为约简四次方程，可以从一般的四次方程只用简单的变量变换就可以得到。我们只需要解前者（约简方程）。
图6：雅各布·伊曼纽尔·汉德曼（Jakob Emanuel Handmann）为莱昂哈德·欧拉绘制的肖像。
根据欧拉定理，我们的目标是求解约简四次方程：
式9：四次方程的例子。
有以下根：
式10：方程9的解。
假定三个θs为下列三次多项式的零点：
式11：方程的根由θs给出。
如前所述，这个方程可以转化为一个卡达诺公式。
为了求解，我们按以下步骤进行。将式10中的四个方程相加，我们发现Eq. 10的z满足：
式12：公式10的z所满足的公式。
现在我们做以下定义：
式13：θ₁，θ₂，θ₃的定义。
求解这个方程组中的4个z，我们得到式10。将式10代入式9得到：
式14：将式13代入式9得到的关系。
式12中的θs是三次多项式的根：
θs是这个三次多项式的根。
这就完成了我们的求四次方程通解的过程。
