俄罗斯留学就读数学专业有多难? 本科需要学多少东西? -

大家好，我是《俄罗斯教育》有限公司（或者小狮座俄罗斯留学）的李经理，许多人可能对我不太了解（或者很了解，但是我还是需要重新介绍一下），我简单介绍一下自己，我2012年9月来到俄罗斯叶卡捷琳堡的乌拉尔联邦大学（УрФУ）就读本科的俄语预科班，经过2年的预科学习，于2014年9月入学了乌拉尔联邦大学的数学和计算机科学系（苏联时期称之为数学力学系-Мат-Мех）经过5年的学习于2019年7月顺利毕业。为什么是5年呢？因为我们系实在是压力太大了，4年只够我学完所有本科的必修课，于是又花了1年时间学完选修课，所以一共5年时间。

大二的《微分方程》课堂

2014年入系数学系时在乌拉尔联邦大学主楼前

某天下课后和我数学系最好的朋友罗曼一起去公交车站路过叶卡市中心的大湖合影

别看俄罗斯冬天很冷，夏天可是美到爆的哦！这是2015年叶卡夏天路过市中心小河拍的一张照片。

自从入学数学系后，从此便开启了苦难的生涯，简单来说这些年学了这么些课程：

大一：

数学分析（理论）两个学期

数学分析（习题）两个学期

高等代数（理论）两个学期

高等代数（习题）两个学期

解析几何（理论）一学期

解析几何（习题）一学期

计算机算法概论理论两学期、上机操作两学期

选修外语（法语，德语，英语，外国学生可以选俄语）两个学期

俄语理论一学期

俄国历史理论一学期、讨论班一学期

大一还需要额外选修两门选修课，可以选择《JavaScript》、《网络构架》、《集合论》、《半群理论》、《数学分析中的数值方法》、《数理逻辑》

总结：

大一总体来说比较轻松，学的东西大多都是基础的东西，有现成中文教材可以看，所以总的来说过得比较轻松。基础课自然是没什么特别有意思的，按部就班的来，比如数学分析就是讲极限，实数连续性，集合论，微分，积分，级数这些的，按照华东师范大学蓝本教材看即可，高等代数就是讲两个：线性代数和多项式环，直接看丘维声老师的《高等代数简明教材（上下）》即可，大二还讲了选择公理，纠错码，自动机理论，也不难找到对应的中文教材。看起来确实也不是很累，但是正因为不累，所以时至今日我还是非常庆幸大一不是太大的压力，让我有一个空档期可以把俄语追上来，因为我总共入系之前只学了8个月俄语预科，可以说只能简单交流，连复杂句子都讲不了，当时上课是完全完全听不懂的，大家可以试想一下假设自己不会英语，然后用八个月开始学英语，然后马上派到比如哥伦比亚大学数学系开始上课是一种怎样的感觉。

而这一年我用了所有课余时间拼命学俄语，结果到第二学期下学期开始的时候我已经可以完整记录一堂课笔记了。另外值得一提的是，我们的算法课用的语言很奇葩，不是C也不是java,c++,而是一种很奇葩的语言 -- LISP...的一种变体 -- Scheme. 这种语言非常奇葩的地方就在于我们平时写一加二是这么写的“1 + 2” 而这种语言里面所有数字的运算都要用“反波兰式范数”来写，比如还是一加二写出来就是"1 2 +" ，而"1 + 2 - (3 - 4)" 写出来就是" 1 2 3 4 - - + "，然后用这种奇葩语言来写比如快速排序法，比如二叉平衡树... 具体的题目可以看看这几个文章，这是一些我帮学弟学妹做辅导时做的一些题目：

scheme语言的题目

写出来的算法

大二：

数学分析（理论）两学期

数学分析（实践）两学期

抽象代数和离散数学理论一学期，讨论班一学期

微分方程（理论）两学期

微分方程（实践）两学期

实变函数理论一学期，讨论班一学期

微分几何理论一学期，讨论班一学期

物理（理论）一学期

物理（实践）一学期

计算机理论两学期，实践两学期

哲学理论一学期、讨论班一学期

数据结构和SQL 一学期理论、一学期讨论版

体育一学期、社会学一学期、历史一学期

大二需要选修4门课，可选有《逼近函数》、《算法的复杂度分析》、《图论》、《线性优化》、《经济学中的数学方法》、《数学哲学》、《函数式编程中的代数方法》、《ASP.NET框架》、《微分方程的数值方法》、《傅里叶函数空间》等。

总结：

大二一下子课程就难多了，数学分析还是老样子没变，微分方程是下学期开的，非常有意思，微分方程的实用性也非常强，几乎你只要搞应用数学，没有什么地方用不到微分方程，而本身微分方程也是非常有意思的，比如我们跳伞，假设从10000米高跳下来，那么你除了受引力之外，肯定要受空气阻力，而空气阻力又跟你现在的速度有关，假设是线性关系即F = kv (k = 关系系数，v = 当前速度）那么要求得你的运动轨迹就需要用微分方程来求，当然这是一个很简单的例子，很容易推导，到后面什么常微分方程组，什么李朴雅诺稳定性（Устойчивость Ляпунова），存在性和解的唯一性定理这些就要烧脑了。

但是代数画风一变就成了抽象代数，开始讲群、环、域、扩域、格、纠错码、选择公立这些内容，而且理论课只有一个学期，要知道国内一般都是2学期讲完，而且不带纠错码，格和选择公理，结果我们全压到一个学期...要知道这种理论考试，而且这么多定理，这么多内容就用一学期是完全不够的呀亲！

值得一提的是大二的物理也是非常有意思的，讲的都不深入，但是涵盖了力学，相对论，电学，热学和量子物理，非常有意思。特别是第一次读懂麦克斯韦方程组的那一天，兴奋得一晚没睡觉，看了好多相关的文献，觉得太神奇了，用四个方程就把电磁解释得清清楚楚。这种深度的物理学习虽然讲的不深，但是对我们整个常识体系的构建非常有帮助哦，学完之后你对生活中各种物理现象都会有一个直观的了解，你会觉得“哇，这世界好神奇”。

大二的计算机课很有意思，终于告别了奇怪的scheme语言，大二老师人很好，带我们游览了很多不同的面向过程的语言，比如prolog (用“叠加原理”写函数的语言），haskell (纯函数式编程语言），C ，汇编语言（直接在内存上操作的语言），每一门都很有意思。

实变函数是一门很神奇的语言，我们在数学分析中学了很多不可黎曼积分的函数，但是这些函数在实变函数中的“可测集”上可以求“勒贝格积分”，瞬间一下觉得好有意思。特别是我终于弄清楚了为什么“有理数的点没有无理数多，但是有理数的导集有无理数那么多”，“[0,1]上的点跟[0,2]上的点是一样多的‘’ 还有‘有一种集合，它在每一点都不连续，但是它有长度’这些奇怪的问题了。实变函数研究了勒贝格可积函数空间，这种空间本质上是一个集合，但是里面的元素不是某个数字，而是某一个函数，但是用在数集上面的概念，比如序列，比如收敛点，极限，完备性都可以用在勒贝格可积函数空间上。实变函数是泛函分析的前置课程，学好对后续课程帮助非常大!

大三：

复变函数理论一学期、实践一学期

数值分析（理论）两学期

数值分析（实践）两学期

物理（理论）一学期

泛函分析（理论）两学期

泛函分析（实践）两学期

随机过程一学期理论、一学期实践

偏微分方程和数学物理方法大三下学期一学期，大四上学期各一学期理论 + 实践

概率论和统计学原理（理论）一学期、实践一学期

数据库结构（SQL语言）理论和实践一学期

面向对象的编程方法理论和实践各两学期

理论力学两学期理论、两学期实践

数学物理方法（偏微分方程）两学期理论、两学期实践

另外还有体育两学期、经济学一学期、管理学中的数学方法一学期、社会学一学期、心理学一学期、生命与安全一学期

另外大三还需要选修6门选修课程，其中包括《调和分析》、《最优化理论》、《微分几何和流形》、《有限群理论》、《纠错码和密码学》、《Matlab编程》、《PHP前端和优化》、《拟阵》、《图论中的算法》、《代数几何》、《微分游戏理论（теория дифференциальных игр）》、《微分动力系统》、《金融随机分析》、《算子代数》、《群的表示理论》等

总结：

这一年是我在大学过的最苦的一年，因为虽然俄语已经没有问题了，但是课程的难度已经到达碾压智商的地步，所以学习起来非常吃力。我一直认为我不是一个聪明的人，所以人家花1小时昨完的事情我会花两小时去做到同样好，但是在这种情况下，拼时间根本拼不过来，一方面你需要每天至少8小时睡眠，一方面你需要花更多的时间去课后复习，由于俄语跟母语者还有一些小差距，那么以上所需要的时间还需要乘以一个1.x 的因子，而一天只有24小时，除去每周24节课，根本来不及...所以大三成了我这辈子最噩梦的一年，至少高考我考不好还可以上个三本，但是这里你一旦考不好就开除（有一门考试不过，两次普通补考还不过，第三次补考就是三个老师同时考你，再不过就开除）. 我们班大一进来的二十四个人，现在大四上学期已经走了11个，图上有个人没去上课，所以没在照片里，打红叉的是已经开除了的。

大一合影，到他们2018年大四毕业的人

所以那一年几乎每天都失眠到四点五点...甚至整晚不能睡觉。

不过话说回来，这一年还是有很多收获的，比如学了很多有意思的东西，我最推荐的就是这门课 -- 《数值分析》，这门课简直是太有意思了！这门课的主要内容有这么些部分：插值法，函数逼近，数值积分和微分，线性方程近似解法，非线性方程的解法，常微分方程的数值解法等。

这里不得不提一下泛函分析这门课，这门课实在是太恐怖了，我现在不想回忆它。因为这是唯一一门我被逼到参加三个老师考我一个人的补考的情况，差一步就开除了，当时从正式考试到暑假到补考过，一共四个月，精神压力巨大，直接内分泌失调脸上爆豆、晚上焦虑睡不着。

面向对象的编程就是学习JAVA语言，这是我接触的第一门面向对象的语言，给我打开了一个新的大门，学过JAVA之后，才知道编程可以这么有意思！比如在以前写面向过程的语言的时候，我们总是事先定义一个“过程”，然后输入各种值来通过这个“过程”求得某个结果。而JAVA则直接面向一个对象来编程，我们定义一个类（比如人类），然后我们把类实例化（比如某个具体的人，比如你或者我）然后利用这个人来做一些动作（构造方法）完成我们需要达到的目的，这个语言实在是太神奇了。就好像你是上帝，你想知道55572631是不是素数 , 然后你不想自己动手，你想创造一个东西帮你来思考，那么你在脑中构想出来了你需要造的这个东西的样子（这就是类，比如上帝脑中的人类），然后你按照你构想出来的样子造了一个实例出来（比如你、我、具体的某个人）然后让这些东西帮你去思考 55572631是不是素数，最后算出来之后上帝就直接当“伸手党”拿答案就行啦。

总之大三是压力最大最恐怖的一年。

大四

数论一学期理论

现代数学领域中的难题讨论班两学期，其中包括

千禧年七大问题之庞加莱猜想证明思路

黎曼猜想证明最新进展（截止2018年）

费马大定理及“谷山志村“猜想证明探讨

庞特里亚金-库拉托夫斯基定理猜想证明

射影几何一学期理论、一学期实践

金融数学一学期实践

一个学生自选模块：我的是《代数学》模块，模块中包括：

《李群和李代数》两学期理论、两学期实践

《有限群理论》两学期理论、两学期实践

《群的谱图理论》一学期实践

《有限单群的分类问题》一学期讨论班、一学期实践

《范畴代数》一学期理论

调和函数一学期实践课程

函数的优化理论一学期实践课程

以及两门任意选修课、毕业论文、国考和本科毕业答辩

总结：

大四基本上是这样的，第一学期上课，第二学前面10周还有课程，后面7周就纯粹做答辩的准备，整体而言大四必修课程比大三少了很多，而且必修课程比较水，但是选修课多而且大多数课程的深度都比较深，像李群和李代数这种真的就开始烧脑了，至于讲有限群理论的一些前沿课题，比如单群的分类问题、Burnside定理的证明方法、Frattini子群定理和Frobenius定理的证明和应用时就真的开始怀疑自己智商是不是有问题了。但是好在这些课程考试时反而很简单，主讲人就是我导师，而我导师告诉我们 - 我们把这些课程在抽象代数的基础上深入推进这么多，目的就是在于 - 如果大家以后读研究生继续学习数学专业，那么可以在本科基础上直接开始进行现代课题的研究，所以直到这时候我才理解导师的良苦用心（当然事实最终证明我还是跑车辆工程去了，哈哈哈，怕研究生脑子不够用了）

大四的论文我导师给的题目相当难，他先给我一个巨大的课题，看能不能研究点东西出来，然后发现太难于是慢慢缩小(сужать)课题本身，并给出具体的课题来研究。最终在导师的指导下成功完成了毕业论文，并参加国考顺利通过答辩毕业。

乌拉尔国立技术大学后面的卫国战争英雄纪念碑小公园的秋天。

数学系本科毕业应该达到什么水平？

由于我自己非常喜欢代数学理论，所以我的本科主要学习是代数学方向，那么在这种情况下我主要的精力都放在了研究有限群理论上面，对于其他方向其实并没有太深入的了解。在这种情况下，我只说一下我们代数方向本科毕业应该做到什么样的水平。

简单来说，乌拉尔联邦大学数学和计算机科学系《理论数学》专业本科毕业，学生可以选择《计算机数学》、《金融数学》、《数学物理》、《代数学》、《分析和泛函》、《几何学》、《概率论和随机方程》这几个大方向。《代数学》方向需要在本科阶段学完整个有限群理论、主要的代数理论以便学生毕业后读研可以直接开始相关领域的科研，其中包括如下部分：

群理论方面

需要学完整个有限群理论的大部分截止1990年的结论，包括Burnsided定理、Schur-Zassenhaus定理、Frattini子群定理、Frobenius定理这几个主要的有限群领域的定理。

除此外需要详细学习一个有限群理论的前言课题，即群的谱方法（методы спектра）来利用Brobenius定理对有限群进行分类。

除此外还需要学习单群的分类问题，包括了解21个散在单群，虽然对于魔群（Monster group）只讲了这个群的“魔群月光理论”以及简单了解了一下魔群的构造，但是对于本科生已经很超纲了。

代数方面

需要学习完李代数初步课程，李代数需要学习到可解李代数、幂零李代数、半单李代数、卡丹分解这一部分，后面的话就不学了，算是给研究生数学系学习李群和李代数开个头。

微分几何是必须学习的，但是要求没那么深入，因为在俄罗斯一般高等级微分几何算作研究生课程，而本科至少需要了解到黎曼张量、超曲面、李导数这里。因为学习李代数需要用到微分几何中的很多概念去推出李群。

数学系本科毕业论文应该是什么水平

说实话，乌拉尔联邦大学数学系其他人毕业时是什么水平我也不太了解，但是我自己是《代数》方向的，我的毕业论文课题是“2nρ阶有限群的构造，ρ为一个奇素数”，这个课题涉及到一个数学领域的课题叫做“凯里问题”：

凯里分类问题”是一个这样的问题，即给定一个自然数n，给定其完整的拥有该阶数的有限群的完整分类。这个问题有两个途径进行解决：第一个途径是固定群的阶数并求解拥有该阶数的所有非交换群的构造，利用的方法有求解其中心（即该群中所有可交换元素组成的集合 - 补充）、西洛子群的幂零性或者其他的方法（例如群的谱刻画方法等 - 补充），当然交换群的情形已经有了充分的研究。对于这个问题可以参考很多数学的补充包和数据库，例如GAP 4.5.4,这里面给出了阶数小于2000的所有群的完整构造，除了1024阶群（近期1024阶群也已经构造完毕，有接近500亿个同构类 - 补充），一共包含4亿多个不同构造。第二个途径是研究一个整的、拥有某种数学关系的阶的群，例如我们知道如果自然数n是一个质数，则拥有n阶的群只有一种。另外一种古典方法求解的群为pq阶群，这里p、q皆为质数，若n=pq，则通过西洛定理可以求解出这种群的构造数目。随着群的阶数的增加，对于某些问题的求解还存在很多未解决的点，例如我们取 n=aρ , a∉素数集合，(a,n)=1这种类型就很难求得其构造。

关于凯里分类问题的解释

总而言之，导师Gein A.S给我的任务就是，对这一课题的整体进行研究，得到某些一般性的结论，然后作为特例，利用我们研究出来的一般性的理论对2p,4p,8p阶群进行分类，如果到研究生阶段可以继续研究16p,32p阶群，博士阶段可以做到128p阶群，直至得到更加一般的结论。那么接下来我们看一个我自己写的4p阶群的例子，注意这里4ρ阶群只是我论文中很小的一部分，整个论文有17页，这里只占4页内容。

有限群的阶为4ρ（ρ为一个奇素数）的构造的证明过程：