老黄此前已经对实数完备性的六个基本定理：确界原理，单调有界定理，区间套定理，有限覆盖定理，聚点定理，以及它们的同一性进行了介绍和多番证明，全部都在《老黄学高数》的各讲视频中介绍过了。
其中第73讲，利用确界原理证明了单调有界定理；在第213讲，利用单调有界定理，证明了区间套定理；第221讲，利用区间套定理证明了聚点定理；第219讲用聚点定理的推论证明了柯西收敛准则的充分性；老黄还在番外章介绍了聚点定理直接证明柯西收敛准则的方法，其实道理是一样的。第222讲又利用柯西收敛准则证明了确界原理。这里老黄再用有限覆盖定理，证明聚点定理；这就形成了一个循环闭路，即用任何一个定理，都可以通过循环证明其它所有五个定理，因此它们是等价的。
问题：试用有限覆盖定理证明聚点定理.
有限覆盖定理，简言之就是指闭区间的无限开覆盖，可以削弱为有限开覆盖。聚点定理则是指有界无穷点集必有聚点。
证：设S为数轴上有界无穷点集, 则存在M>0, 使S⊂[-M,M]，【设S是数轴上有界无穷的点集，那么就一定存在正数M，使S包含于[-M到M]。如果满足不了，就把M取得更大，使其充分大就可以了。如果找不到这样的M，那就说明S无界，矛盾。千万不要把心思放在考虑这个M到底是什么上。比如告诉你，这个世界上有一个人比你高，你会去纠结他到底是谁吗？】
若[-M,M]中任何点都不是S的聚点，则对每一个x∈[-M,M]，【如果在这个闭区间上任何点都不是S的聚点，这是反证法应用的开始。要证明这么说是错误的。】
必存在相应的δx>0，使得U(x,δx)内至多有S的有限多个点.【假如上面的说法是正确的，那么这个闭区间上的任何一个点x，必存在对应的一个正数δx，使得U(x,δx)内都至多有S的有限多个点。】
设H={U(x,δx)|x∈[-M,M]}，则H是[-M,M]的一个开覆盖，【这些开邻域组成了一个开邻域集H，它就对[-M,M]形成了一个开覆盖。因为H包含了[-M,M]上任何一个x的邻域嘛】
由有限覆盖定理，H中存在有限个开邻域：H’={U(xj,δ_(xj ))|xj∈[-M,M]}(⊂H)，
H’构成[-M,M]的一个有限开覆盖，并覆盖S.
又每一个U(xj,δ(x_j ))内至多含有S中的有限个点,【有限个邻域内都有S中的有限个点，又覆盖了S，这样不就说明S只有有限个点了吗？】
与S为无穷点集相矛盾，∴[-M,M]中至少有S的一个聚点.
这种证明，相当抽象，不知道在老黄文字解释的加持下，你能不能理解呢？爱数学的小伙伴们一定要尽量理解哦，老黄还想陪大家一起继续遨游到数学知识海洋的更深处呢！
