分形几何是在本世纪70年代中期由美籍数学家曼德布罗特创立的一门新学科。它与孤立子理论、混沌理论并列为非线性科学研究中的三大理论。暂时不说它是一门数学学科，是因为有人反对把它看作数学的一个分支。不过事实上有很大一部分人认为它是数学，不过是不同于欧几里得几何的又一门新的几何学分支，其研究对象是大自然中那些不规则的、粗糙的、具有自相似特点的几何形状，实践还表明它是研究耗散结构、混沌动力学的有力工具。
在介绍分形几何之前，先引用曼德布罗特在得Banad奖时弗里曼·戴森教授对其所创立的分形的一个精练的概括和评价∶
……这是一个将20世纪的现代数学和19世纪的古典数学区别开的伟大的思想革命．古典数学植根干欧几里得的规则几何结构和牛顿的连续演化力学，而现代数学则开始于康托的集合论和皮亚诺的空间填充曲线。
……这些新的结构被认为是“魔鬼的画廊”，它们与几乎是同时代建立的立体派艺术家的绘画作品和无调的音乐作品一样是让人难以理解的。创造‘魔鬼’集合的数学家们之所以认为这些集合是重要的，是因为它们反映了当时人们的一种数学观∶即纯数学世界是人们思想自由的创造物，而不仅仅是自然界中所看到的各种简单结构的反映。20世纪的数学是在这样一种信仰的基础上发展起来的，它完全凌驾于自己固有的起源所强加给的极限。
作为研究几何形状的学科，占据达 20 多个世纪统治地位的欧几里得几何学是大家熟知的。然而它能够描述蓝天下朵朵白云的形状和我们周围连绵起伏的山峦形态吗？它能够刻画那美丽的大海和群岛的边界线吗？它又能够描述物理学中无规凝聚的结构、粘性脂的图形，人体中血管和支气管树的分布，信息传输线路的噪声以及商品价格波动等等问题吗？它不能！
即使是在纯数学中。像函数
这是个无穷级数，其和为连续函数，函数图如下，
由所给的解析式可知，它是处处不可微的。从图像上可以发现它处处没有导数（即在曲线上的任何一点都画不出切线）。应用传统的数学方法我们可以对此图像的几何性质做出很好的描述吗？也不能！
再如，瑞典数学家科赫在研究曲线的过程中，在1904年构造出一条如上图所示的曲线。观察图形可发现它有下面的一些特点∶
分形图表现出整体与部分的自相似，且相似系数为1/3；
分形图在任意小的尺度下都包含整体的特性，如果将图形放大到一定程度，则会看到开始操作时的图形；
分形图的定义非常简单，但却具有很复杂的结构；
分形图是通过递归（迭代）过程获得的；
分形图是连续的，而且是无穷长的。
应用传统的数学方法可以描述它吗？答案是否定的。
还有很多很多类似的问题，都是传统数学无法解决的。以前作为数学中逻辑推导的个别反例，人们认为它们是“怪异的”、“反常的”而不予理睬是可以的。然而，如今科学技术的发展、社会的进步却提出了许多诸如此类的现实问题，是我们不能不加以解决的。像情报学中的词频分布问题、信息传输中的噪声问题、湍流问题、海岸线的长度问题、经济学中的一些现象等等。
正是这些数学史上逻辑构造出来的“病态的”函数、曲线，以及当代社会发展提出的现实问题，为分形几何的诞生提供了素材。曼德布罗特正是在对这些现象的研究中，创立了具有划时代意义的新学科，一门新的几何学。
那么，什么是分形几何呢？借用曼德布罗特自己的话说，将“几何混沌”类中具有“粗糙和自相似”特性的形态分离出来就是分形几何的研究对象。由前面的简单叙述可以发现，“粗糙和自相似”是形成分形思想的核心。但是，这仅仅是一种感性的直观认识，还需要上升为理性的抽象，才能更为深刻地理解分形的本质特征。因为“粗糙”和“自相似”都带有模糊性，无法进行操作，因此必须要从理论上加以界定。当然，在分形几何中不是直接对“粗糙”和“自相似”做出界定，而是对“分形”这个核心概念加以界定的。
最初，曼德布罗特是这样描述分形的∶
一个分形集是这样的一个集合，在度量空间中，它的豪斯多夫-贝塞可维奇维数严格大于其拓扑维数。
其中拓扑维数永远是整数，豪斯多夫一贝塞可维奇维数常常被人称为分数维数。在欧几里得几何体系中，拓扑维数是与斯多夫一贝塞可维奇维数相等的。但是很快，人们就发现了这个定义的不合理性，因为它把明显是分形的集合排除在外了。曼德布罗特自己也意识到了这一点，所以后来他就补充说，分形的这个数学定义是不严格的，不过是暂时的，它需要不断改进。
分形完善的数学定义到现在还没有。为了改进分形的定义，人们提出许多种方案，但都有各自的缺陷。于是，一些分形几何学家放弃追求严格的定义，转而寻找分形体的一些特有的性质，用于判断某种形态结构是否可以作为分形来研究。如英国分形学家法尔科内在其著作《分形几何————数学基础及其应用》中就指出，分形的定义可以如同生物学家给出“生命”的定义方法一样，最好将分形看作是大部分分形所具有的性质的一个集合，而不是寻求分形的确切的定义。
由于分形几何以不规则集合的空间结构和性质作为自己的研究对象，所以它一出现就吸引了许多自然科学家的兴趣和研究，特别是研究混沌现象的学者的兴趣，成为他们研究混沌的有力工具。目前分形几何已经在自然科学中获得了广泛的应用，因此曼德布罗特也为科学做出了巨大的贡献。但是像一切新生事物一样，它的完善和发展需要一个过程，特别是它的结论大部分来自计算机的实验作图结果，缺乏理论上的论证，因此就带来了一些争论。
分形几何的争议
自从分形几何的奠基之作《大自然的分形几何学》出版后，就有一些人士一直都在为它是否是数学而争吵不休。确实当你翻开曼德布罗特的著作时，你会发现；在分形几何里几乎就没有严格的概念、原始的公理，也没有从基本的定义、概念出发，按照严密的演绎规则进行的一系列证明，而这些却是传统数学所不可缺少的。它所拥有的是从计算机的实验中获得的大量的直观图像、猜想。可是从古希腊不可公度量的发现就已经知道，几何直观是不可靠的。所以也难怪引发数学界人士对分形几何的争议。在争议的双方中，反对派以克兰茨为代表，而支持者当然是以分形几何的创始人曼德布罗特为代表。
克兰茨认为，格莱克在1988年出版的《混沌学————门新科学》“太坏了”。因为他把艰涩难懂的数学变成了通俗易懂的东西，使得“公众对当今数学家们正在从事的工作的理解”发生了误解。在反对派看来，分形之受欢迎，不过是一时的时髦而已，因为它里面有太多漂亮的图案而太缺少传统意义上的定理及其证明。
面对克兰茨等人的尖刻批评，曼德布罗特也很顽强，他认为证明是很重要，可是分形几何中那些充满想象力和具有挑战性的工作同样重要，而且与传统证明带给人不同的是∶它会更加促进人们对数学、对自然的理解。
除了曼德布罗特自己外，《上帝掷骰子吗∶混沌之数学》的作者伊恩·斯图尔特认为，分形和混沌是数学的兄弟，分形是描述混沌的语言。用他自己的话说就是∶
本世纪 70 年代、混沌和分形都处在草创阶段，两者表现得风马牛不相及。但它们都是数学的兄弟。它们都与不规则结构斗得难解难分。在它们中间、几何想象力至关重要、不过几何学在混神中附属于动力学、而在分形里则居统治地位、分形为我们提供了描述混沌形状的一种新语言。
赞成分形几何更多的是一些自然科学家。如日本的物理学家高安秀树就说，
否定微分、这在历史上恐怕也是划时代的。
物理学迄今在解析大极限宇宙和小极限基本粒子上真不知费了多少精力，虽然也积累了不少知识，但对我们日常生活中所熟悉的中等大小的现象，却很难说有较深的研究。这绝不是因为中等现象没有意思，而是认为大极限与小极限事物容易考虑的缘故……与此相对应，中等大小的现象，本质上是多体系的，它们之间有着复杂的相互作用，如果只将特定的相互作用取出，则常会看不见其重要性质。
理论物理学家惠勒这样评价分形，
一个人如果不能同样熟悉分形，他就不能被认为是科学上的文化人。
中国科学院院士郝柏林教授说∶
曼德布罗特多年来苦心宣传的分形几何，不仅是更接近自然现象的几何学，而且也正是混沌现象的几何学。
分形几何、符号动力学和重正化群，三位一体'地构成混沌理论的数学框架。两派的争论曾经有些相持不下，可是随着实践的发展，这种争论在日趋减弱。从其争论中，我们显然可以看到他们在如何看待数学上有着相互对立、相互矛盾的意见。反对派认为数学主要是证明的问题，而赞成的人们则认为数学主要在于理解问题。追求理解的常常忽视证明，而执着于证明的人往往又不重视理解。数学到底应该是证明还是理解，是欧几里得式的演绎还是实验，似乎是公说公有理、婆说婆有理。但其争论的实质是“什么是数学”的数学观问题。
