实数x,y,z满足x^2/3+y^2/2+z^2/2=1,求x+y+z的取值范围
主要内容：
通过柯西不等式、换元法、微分法及构造多元函数法，介绍x+y+z在满足给定条件x^2/3+y^2/2+z^2/2=1下的取值范围。
主要公式：
1.柯西不等式:(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2.
2.sin(a+b)=sinacosb+cosasinb.
柯西不等式法:
∵(x^2/3+y^2/2+z^2/2)*(3+2+2)
≥(x+y+z)^2，
∴1*(3+2+2)≥(x+y+z)^2。
即：-√7≤x+y+z≤√7。
所以所求代数式的取值范围为：
[-√7,√7]。
换元法：
根据已知条件x^2/3+y^2/2+z^2/2=1，设
x=√3sinasinb,
y=√2sinacosb，
z=√2cosa，此时有：
x+y+z
=(√3sinb+√2cosb)sina+√2cosa
√[(√3sinb+√2cosb)^2+2]，
=√(3+2+2)=√7，
即：
-√7≤x+y+z≤√7。
所以所求代数式的取值范围为：
[-√7,√7]。
函数微分法：
设所求x+y+z的最大值为t，则：
x+y+z=t,即：
z=t-x-y，其中t为数值，所以：
对z关于x,y的函数，z对x的斜率即偏导数=-1，
z对y的偏导数即斜率也等于-1。
对已知条件求全微分得：
2xdx/3+2ydy/2+2zdz/2=0,
化简得全微分为：
dz=-2xdx/3z-2ydy/2z,则：
-2x/3z=-1,-2y/2z=-1,
则x=3/2*z,y=z,代入已知条件得：
z^2=2/7,即z=±√2/7,取正时得最大值，
所以x+y+z的最大值
=3/2*z+1/1*z+z=√7，得值域为：[-√7,√7]
多元函数法：
设F(x,y,z)=x+y+z-λ(x^2/3+y^2/2+z^2/2-1),
分别对x,y,z,λ求偏导数，得：
Fx=1-2λx/3,Fy=1-2λy/2,Fz=1-2λz/2,
Fλ=x^2/3+y^2/2+z^2/2-1。
令Fx=Fy=Fz= Fλ=0,则：
x=3/2λ,y=2/2λ,z=2/2λ
代入到Fλ=0方程中，则：
3/4λ^2+2/4λ^2+2/4λ^2=1,
解得：2λ=±√7.
此时代入，得：
x+y+z的最大值
=(3+2+2)/2λ
=(3+2+2)/√7
=√7。
同理最小值为相反数，即取值范围为：
[-√7,√7]。
