老黄虽然对数学非常有兴趣，但自知对数学探究尚未真正入门，完全可以说就是一个数学小白。但老黄在这方面却并无自知之明，依然对推导高等数学公式乐此不疲。
最近老黄推导了很多不定积分公式。当老黄研究到正弦余弦的幂积不定积分公式时，发现从它的递推公式，可以推出非常庞大的一套公式。需要分成很多种情况讨论。前面老黄分析到正割与正弦的幂积积分公式时，每次都只能探究其中的一个小部分。比如两个指数的差是一个偶数时的公式，以及两个指数的差是一个奇数，而正弦的指数又较小时的公式。此时还要分正弦指数的奇偶性两种情况，而且还有两个指数相差1的特殊情况。这个内容老黄已经有图文作品介绍，而视频作品则在《老黄学高数》系列学习视频第279讲中详细做了分析。
接下来，老黄要推导两个指数相差一个奇数的另外一种情况，就是正割的指数反而更小的情况。也要分成正割的指数是偶数或奇数的两种情况。由于正割的指数较小，所以我们要优先将正割进行降幂，这样公式中的阶乘就不会出现从正数乘到负数的情况。
而当正割偶幂时，每次降二次幂，最终就会把正割降为0次幂，从而得到正弦的正整数幂的不定积分。这个不定积分的公式在《老黄学高数》第264、267、274三讲都有介绍，也就是说，有三种推导的方法。这样就可以得到这种情况下的积公公式了。不像正弦的指数较小时一样，这里并不会有两个指数相差1的特殊情况。
接下来做一道例题：例1：求∫(secx)^4*(sinx)^7dx.
结果老黄已经检验过了，检验的过程相当麻烦，但也很有趣，有兴趣可以试一试。
当正割奇幂时，情况就变得相当复杂了。因为将正割降到1次幂之后，就无法再继续降下去了。而正割是1次幂时，乘以正弦的幂，老黄并没有找到积分公式可以直接运用。当然，我们可以在这个基础上，对正弦进行降幂，一直降到0次幂，就会得到正割的不定积分，从而可得到最终的公式。这样就把公式的推导分成两大步，两步之间互不干扰，所以不用担心最终公式中各系数受到干扰的问题。这种方法是可行的，但得到的公式是相当复杂的。
另外一种方法是利用sin^2=1-cos^2，把不定积分化成众多不定积分形成的多项式。这种方法肯定会比两步法复杂得多，因此也不可取。老黄这里还是运用两步法，但与上面提到的两大步不同。老黄先对正弦进行降幂，一直降到反而比正割的指数小1为止。这样就可以运用上面提到的正弦指数较小时，指数差等于1的特殊情况的公式，得到最后的公式。
当然这个方法也是极其复杂的。这样的公式，要是一下子就能推导正确，那可真是祖坟冒青烟了，你都不知道老黄这个数学小白是多艰苦才做到的。由于这里是两个公式的结合，所以有很多相同形式的参数代表不同的值，因此需要将它们转化统一，这也是相当麻烦的一步工作。另外之所以最后的分子中有一个绝对值的阶乘，是因为按这个公式，如果不加绝对值，最后会出现一个(-1)!!，在这里是没有意义的。而且它的作用是约掉分母中的(n-m)!!的某些项而己，因此在出现(-1)!!时，强行转化成1!!，就可以了。
最后再看一道例题：例2：求∫(secx)^3*(sinx)^6dx.
由于解题过程中，还要运用正割的3次幂的积分公式，这是《老黄学高数》第268讲和第275讲介绍的。所以这里其实综合了三个复杂的积分公式，你可以想像一下出错的概率有多高。像老黄这样的数学小白，不出错那才是太阳从西边升起了呢。
你无法想象，老黄为了用它校正公式，做了多少工作，吃了多少苦头。随便一次小差错，检验的时候就可以让人叫苦连天。这个时候老黄才会羡慕那些数学天才。但数学天才也体验不到数学小白探究数学的乐趣。他们是永远想象不到数学小白是怎么推导出这么复杂的数学公式的。
