2011年山东高考数学真题, 解三角形经典题, 这题不会考本科就悬了

大家好！本文和大家分享一道2011年山东高考数学真题。这道题是当年山东理科数学的第一道解答题，难度不大，考查的是解三角形的知识，也是一道非常经典题目，如果这道题不会，那么想考本科就悬了。下面一起看一下这道题。

先看第一问：求sinC:sinA的值。下面介绍三种解法。

解法一：边化角

解三角形大题中有一个非常重要的方法就是边角互化，解法一就是采用边化角的方法。

边化角用得最多的是正弦定理，由a:sinA=b:sinB=c:sinC=2R可得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，这样就可以将题干给出的关系式中的边化为角了。然后，利用利用比例的性质交叉相乘，并用两角和的正弦公式化简就可以得到：sin(A+B)=2sin(B+C)，从而得到sinC=2sinA。

解法二：角化边

一般情况下，更加推荐使用边化角，因为边化角的计算通常要更简单一些。不过，本题采用角化边同样可以计算。角化边可能会用到正弦定理，也可能用到余弦定理，比如本题出现的都是角的余弦，所以就要用余弦定理来转化，即cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc，cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac，cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab。代入题干中的关系式，化简后就可以得到c=2a，再由正弦定理可得：sinC:sinA=c:a=2。

解法三：任意三角形的射影定理

任意三角形的射影定理又被称为“第一余弦定理”，即a=bcosC+ccosB，b=acosC+ccosA，c=acosB+bcosA。

有了这个知识点，我们先将题干中的关系式去掉分母，从而得到bcosA-2bcosC=2ccosB-acosB。然后移项，得到acosB+bcosA=2(bcosC+ccosB)。此时根据任意三角形的射影定理可得：c=2a，接下来再用正弦定理就可以得到sinC:sinA的值。

再看第二小问：求三角形的面积。

阶段三角形的面积公式有很多，但是最基础的公式还是S=absinC/2，也就是说需要求出三角形的两边及其夹角。

由题意知，cosB=1/4，也就知道了sinB，所以需要求出a和c，然后利用三角形面积公式就可以求出面积。

由第一小问可知c=2a，由余弦定理b^2=a^2+c^2-2accosA可得：4=a^2+4a^2-2a×2a/4=4a^2，即a^2=1，所以a=1，c=2。故S=acsinB/2=√15/4。

这道题考查的难度不大，属于基础， 学生必须掌握。