2009年山东高考数学填空压轴题, 抽象函数经典题, 很多学生不会做

大家好！本文和大家分享一下这道2009年高考山东卷的数学填空压轴题。这道题考查了抽象函数的周期性、对称性以及数形结合等知识点，是一道非常经典的抽象函数题目。这道题的难度其实并不算太大，但是还是有很多同学不会做，下面我们一起来看一下这道题。

要解这道题，我们首先来复习一下函数周期性和对称性的相关知识。

函数周期性

定义：T为非零实数，如果函数f(x)定义域内任意的x都满足f(x+T)=f(x)，那么f(x)就是周期性函数，T就是函数f(x)的一个周期。

常见结论：若f(x+a)=f(x+b)，则T=|b-a|；若f(x+a)=-f(x)，或f(x+a)=±1/f(x)，则T=2a。

函数对称性

函数的对称性分为轴对称和中心对称两种，如果函数f(x)满足f(x+a)=f(-x+b)，则函数f(x)的图像是以x=(a+b)/2为对称轴的轴对称图形；如果f(x+a)+f(-x+b)=2c，则函数f(x)的图像是以点((a+b)/2,c)为对称中心的中心对称图形。

函数奇偶性实际上就是特殊情况下的对称性。

不少同学容易将函数周期性和对称性的关系搞混淆，其实大家只要记住一句话就可以，那就是看x前面的系数，如果系数相同就是周期性，系数相反就是对称性。

另外，对称性和周期性也是有联系的。

①如果函数f(x)的图像有x=a和x=b两条对称轴，那么2|b-a|就是函数f(x)的一个周期；

②如果函数f(x)的图像有点(a,b)和(c,d)两个对称中心，那么2|c-a|就是函数的一个周期；

③如果函数f(x)有x=a这条对称轴，还有点(b,c)这个对称中心，则4|b-a|就是该函数的一个周期。

接下来回到题目。

由于f(x)是抽象函数，所以不可能直接解方程f(x)=m，而只能用数形结合的方法来求解。

由函数周期性的性质及f(x-4)=-f(x)可知，f(x)的周期T=8。

另外，函数f(x)是在R上的奇函数，所以有-f(x)=f(-x)，则f(x-4)=-f(x)=f(-x)，故可得函数f(x)的图像关于直线x=-2对称。

又f(x)在[0,2]上是增函数，根据奇函数性质可知函数在[-2,2]上是增函数，且f(0)=0。所以我们可以画出函数f(x)在[-2,2]上的大致图像，然后再根据对称性画出完整的图像，如下图。

画出f(x)的图像后，再画出y=m的图像，找到两个函数图像有四个交点的情况。我们不妨设x1＜x2＜x3＜x4，从上图可以看出，x1、x2关于直线x=-6对称，x3、x4关于直线x=2对称，所以x1+x2=-12，x3+x4=4，从而x1+x2+x3+x4=-8。

这道题就和大家分享到这里，你学会了吗？