2013年天津高考填空压轴题, 基本不等式求最值, 很多学生不会做

大家好！本文和大家分享一道2013年天津高考数学真题。这是当年天津高考数学试卷的第14题，也就是填空压轴题，分值5分。这道题考查的是基本不等式求最值的问题，难度不算太大，但很多学生却不会做。下面我们一起来看一下这道题。

基本不等式求最值需要满足三个条件，也就是我们经常说的“一正二定三相等”。“一正”就是要求各项都是正数，“二定”就是要求各项之和或各项之积为定值，“三相等”就是要求验证取等号的条件，即各项相等时才能取等号。

近年来在全国卷中已经很少考到单独用基本不等式求最值的题目了，更多的时候是与其他知识进行综合考查。不过在前几年的一些地方卷中，还是经常有单独的题目。

下面和大家分享本题的三种解法。

解法一：

我们先来观察一下所求的代数式，“一正”是满足的，但是如果直接用基本不等式“二定”却不满足，所以我们要先进行变形处理。怎么办呢？我们将1/2|a|的分子分母同时乘以2，并将分子的2用a+b进行代换。然后将其展开，就得到了b/4|a|+|a|/b+a/4|a|，此时前面两项就可以用基本不等式来处理，得到其≥1+a/4|a|，当且仅当b/4|a|=|a|/b即b^2=4a^2时等号成立。显然，当a＜0时，a/4|a|＜0，所以1+a/4|a|最小，即b=-2a。又a+b=2，所以解得a=-2。

解法二：

题干告诉的已知条件是整式，而要求的则是分式的最值，看到这儿相信很多同学都反应过来了，这种情况下可以用“1”来进行代换。

先将所求的分式乘以2，然后2用a+b来代换，而为了保证最后的值不变，我们再乘以1/2。接着我们将(a+b)(1/2|a|+|a|/b)展开，展开的时候也有很强的技巧性，即a+b与1/2|a|相乘时直接展开，而与|a|/b相乘时又将a+b换成2，这样就得到了a/2|a|+b/2|a|+2|a|/b。显然，上式要取最小值，那么a＜0，即上式≥[-1/2+(-b/2a)+(-2a/b)]，接着后两项再用基本不等式就可以求出最小值，然后验证取等的条件就可以求出a的值。